積分問題bot41

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積分問題bot41

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の41番の問題です。

 

 

思考

対称性の利用

 

計算

\(I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx\)  とおく。

 

対称性を考えて

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\cos x)dx\)を考える。ここで、\(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\)  とおくと

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\cos x)dx\)\(=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\log (\sin t)(-dt)\)\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx=I\)

 

 

\(2I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\cos x)dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log \displaystyle\frac{\sin 2x}{2}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin 2x)dx\)\(-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log 2 dx\)

 

 

第一項を考えて\(u=2x\) と置換すると

 

\(\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\log (\sin u)du\) となる。    ここで \(\log (\sin x) \)は

 

\( \log (\sin (\pi-x))= \log (\sin x) \) なので \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) に関して対称。つまり

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin 2x)dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\log (\sin u)du\)(\(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) に関して対称であることを利用して)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx=I\)

 

 

 \(2I=I–\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log 2 dx\)

 

\(I=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\log 2\)

 

 

答え

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin x)dx=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\log 2\)

 

 

 

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