積分問題bot43

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積分問題bot43

 

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の43番の問題です。

 

 

思考

\(\tan^2 x\)の扱いがわからないのでとりあえず\(t=\tan x\) と、置き換えてみます。

 

\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)であることから、\(dx=\cos^2 x dt=\displaystyle\frac{dt}{1+\tan^2 x}=\displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)

 

よって問題の積分は次のようになる。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{1-\tan^2 x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{1-t^2}\cdot\displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t}\)\(+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)(部分分数分解)

 

前半2項

\(\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+t}{1-t}\biggr|+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\biggr|+C\)

 

後半

\(\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int dx\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}x+C\)

 

これらを合わせると答えとなり答えは

 

\(\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\biggr|+\displaystyle\frac{1}{2}x+C\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\biggr|+\displaystyle\frac{1}{2}x+C\)

 

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