積分問題bot46

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積分問題bot46

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の46番の問題です。

 

 

思考

部分積分します。(\(x’\))がかかっている考える。

 

計算

部分積分

\(\displaystyle\int \log(\sqrt x+\sqrt {x+1})dx\)

 

\(=x \log(\sqrt x+\sqrt {x+1})-\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sqrt x}{2\sqrt{x+1}}dx\) (第二項は整理した)

 

第二項

ここで \(t=\sqrt{\displaystyle\frac{x}{x+1}}\) とおき、第二項を計算していく。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\displaystyle\frac{x}{x+1}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^2}{(t^2-1)^2}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{4}\biggl[\displaystyle\frac{t}{(t-1)^2}-\displaystyle\frac{t}{(t+1)^2}\biggr]dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{4}\biggl[\displaystyle\frac{(t-1)+1}{(t-1)^2}-\displaystyle\frac{(t+1)-1}{(t+1)^2}\biggr]dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{4}\biggl[\displaystyle\frac{1}{t-1}+\displaystyle\frac{1}{(t-1)^2}-\displaystyle\frac{1}{t+1}+\displaystyle\frac{1}{(t+1)^2}\biggr]dt\)  (部分分数分解がこれになれば手順は自由。)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{t-1}{t+1}\biggr|-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\displaystyle\frac{1}{t-1}-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\displaystyle\frac{1}{t+1}+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log|\sqrt{x+1}-\sqrt x|+\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{x(x+1)}+C\)   (変数を戻した)

 

 

答え

第一項を合わせたのが答え。

\(x \log(\sqrt x+\sqrt {x+1})-\displaystyle\frac{1}{2}\log|\sqrt{x+1}-\sqrt x|-\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{x(x+1)}+C\)

 

 

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