積分問題bot5

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積分問題bot5

 

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の5番の問題です。

 

思考

共通因数で割り、分母を因数分解した後、部分分数分解して計算していきます。

 

計算

分子分母を共通因数である\( (x-1) \)で割って部分分数分解します。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x-1}{x^4-1} dx \)

 

\(= \displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^3+x^2+x+1}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{(x+1)(x^2+1)}\)  (因数分解)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int \biggl(\displaystyle\frac{1}{x+1}-\displaystyle\frac{x-1}{x^2+1}\biggr)dx\)  (部分分数分解)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{x+1}-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{x^2+1}dx+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}\)  (第二項の分子を分解)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log|x+1|-\displaystyle\frac{1}{4}\log|x^2+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\arctan x+C\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{2}\log|x+1|-\displaystyle\frac{1}{4}\log|x^2+1|+\displaystyle\frac{1}{2}\arctan x+C\)

 

 

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