積分問題bot53

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積分問題bot53

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の53番の問題です。

 

 

思考

あきらかに \(\sqrt x\) が扱いにくいので\(t=\sqrt x\) と置きます。

\(x=t^2\)なので、 \(dx=2tdt\)。

 

計算

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi^2}{4}} \cos{\sqrt x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2t\cos tdt\)

 

\(=2\biggl[t\sin t\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin tdt\)  (部分積分)

 

\(=\pi+2\biggl[\cos t\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)

 

\(=\pi-2\)

 

 

答え

\(\pi-2\)

 

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