積分問題bot54

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積分問題bot54

 

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の54番の問題です。

 

 

思考

ルートの分数型なので、 \(=t\) と置きます。

 

\(t=\sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{x}}\)

 

変形すると \(x=\displaystyle\frac{1}{t^2+1}\) で \(dx=\displaystyle\frac{-2t}{(t^2+1)^2}dt\)

 

計算

上の結果を積分に代入する。

 

\(\displaystyle\int\sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{x}}dx\)

 

\(=-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^2}{(t^2+1)^2}dt\)

 

\(=-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{(t^2+1)-1}{(t^2+1)^2}dt\) (分子の次数を下げるための変形)

 

\(=-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2+1}\)\(+2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t^2+1)^2}\)

 

前半

\(-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2+1}\)

 

\(=-2\tan^{-1} t+C\)

 

後半

\(t=\tan \theta\) に置きます。 \(dt=\displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\)である。

 

\(2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t^2+1)^2}\)

 

\(=2\displaystyle\int \cos^2 \theta d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int(1+\cos 2\theta)d\theta\)  (半角公式利用)

 

\(=\theta+\displaystyle\frac{\sin 2\theta}{2}+C\)

 

\(=\theta+\cos^2 \theta\tan \theta+C\)

 

\(=\tan^{-1} t+\displaystyle\frac{t}{1+t^2}+C\)

 

まとめる

最終的な答えは変数を戻すと

 

\(-2\tan^{-1} t\)\(+\tan^{-1} t+\displaystyle\frac{t}{1+t^2}+C\)

 

\(=-\tan^{-1} t+\displaystyle\frac{t}{t^2+1}+C\)

 

\(=-\tan^{-1} \sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{x}}+\sqrt{x(1-x)}+C\)

 

 

答え

\(-\tan^{-1} \sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{x}}+\sqrt{x(1-x)}+C\)

 

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