積分問題bot55

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積分問題bot55

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の55番の問題です。

 

 

思考

\(t=\log x\) の置換を最初は考えると思います。しかしそれでは\(e^x\log x\)が登場してうまく解けません。

 

他の方法を探すことになります。\(t=\log(\log x)\) などと置いてみようかなどと思うかもしれないですがこれも厳しいです。

 

何もできないので、まずは分解してみます。

 

計算

\(\displaystyle\int(\log(\log x)+\displaystyle\frac{1}{\log x})dx\)

 

\(=\displaystyle\int \log(\log x)dx\)\(+\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\log x}dx\)

 

第二項はこれも難しいので第一項に注目します。置き換えが厳しいとなると部分積分などしかありません。\((x)’\) が隠れていると考えて、

 

\(\displaystyle\int \log(\log x)dx\)

 

\(=x\log(\log x)-\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{x\log x}dx\)

 

\(=x\log(\log x)-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\log x}\)

 

そしてこの第二項が先ほど上で残した第二項の積分と相殺します。なので積分の答えは

 

\(=x\log(\log x)+C\)

 

答え

\(x\log(\log x)+C\)

 

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