積分問題bot56

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積分問題bot56

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の56番の問題です。

 

思考

\(x\) に \(e^x\) に \(\sin x\) に盛りだくさんで大変扱いにくいです。

 

どれか消したいなと考えたときに\(x\) を部分積分によって消すことが出来るので、この方針でいきます。

 

計算

\(e^x\sin x\)

まずは、 \(e^x\sin x\) の積分を求めておきます。(後で使用)

 

\(\displaystyle\int e^x\sin x dx\)

 

\([e^x\sin x]’=e^x(\sin x+\cos x)\)  ……①

 

\([e^x\cos x]’=e^x(-\sin x+\cos x)\) ……②

 

①-②で

\([e^x(\sin x-\cos x)]’=2e^x\sin x\)

 

よって積分結果は

 

\(\displaystyle\int e^x\sin x dx=\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C\)

 

本題

では本題の積分をやっていきます。(部分積分)

 

\(\displaystyle\int xe^x\sin x dx \)

 

\(=\displaystyle\frac{x}{2}e^x(\sin x-\cos x)-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int e^x(\sin x-\cos x)dx\)

 

\(\displaystyle\int e^x\sin x dx=\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C\)

 

また、\(e^x\cos x\)に関しては上の①+②から出せる。

 

\(\displaystyle\int e^x\cos x dx=\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+C\)

 

よって答えは

\(=\displaystyle\frac{x}{2}e^x(\sin x-\cos x)-\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)-\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)\biggr]+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{x}{2}e^x(\sin x-\cos x)-\displaystyle\frac{1}{4}e^x(\sin x-\cos x)+\displaystyle\frac{1}{4}e^x(\sin x+\cos x)+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{x}{2}e^x(\sin x-\cos x)+\displaystyle\frac{1}{2}e^x\cos x+C\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{x}{2}e^x(\sin x-\cos x)+\displaystyle\frac{1}{2}e^x\cos x+C\)

 

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