積分問題bot57

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積分問題bot57

 

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の57番の問題です。

 

思考

\(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}=\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\)

 

\(\biggl(\displaystyle\frac{1}{\tan x}\biggr)’=-\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\)

 などが出てこないと厳しいかもしれないです。

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin^4 x}\)\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\displaystyle\frac{dx}{\sin^2 x}\)\(=\displaystyle\int\biggl(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}\biggr)\displaystyle\frac{dx}{\sin^2 x}\)

 

\( t=\displaystyle\frac{1}{\tan x}\) とおく。 \(dt=-\displaystyle\frac{dx}{\sin^2 x}\)  より

 

\(-\displaystyle\int(1+t^2)dt\)\(=-t-\displaystyle\frac{t^3}{3}+C\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}-\displaystyle\frac{1}{3\tan^3 x}+C\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{\tan x}-\displaystyle\frac{1}{3\tan^3 x}+C\)

 

 

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