積分問題bot58

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積分問題bot58

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の58番の問題です。

 

思考

分母が面倒です。この問題では根号を両方外すため、\(x=t^6\)  とおきます。

 

\(dx=6t^5dt\)。

 

計算

問題の積分は

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt[3] x+\sqrt x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{6t^5}{t^2+t^3}dt\)

 

\(=6\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^3}{t+1}dt\)(\(t^2\) で分子分母を割る)

 

\(=6\displaystyle\int\displaystyle\frac{t^2(t+1)-t^2}{t+1}dt\)

 

\(=6\displaystyle\int t^2dt-6\displaystyle\int\displaystyle\frac{t(1+t)-(t+1)+1}{1+t}dt\)

 

\(=6\displaystyle\int t^2dt-6\displaystyle\int tdt+6\displaystyle\int dt-6\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t}\)

 

\(=2t^3-3t^2+6t-6\log|1+t|+C\)

 

\(=2\sqrt x-3\sqrt[3] x+6\sqrt[6] x-6\log|1+\sqrt[6] x|+C\)

 

 

答え

\(2\sqrt x-3\sqrt[3] x+6\sqrt[6] x-6\log|1+\sqrt[6] x|+C\)

 

 

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