積分問題bot59

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積分問題bot59

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の59番の問題です。

 

 

思考

\(e^x\)の部分を置換をするわけですが積分範囲を有限区間にするために\(u=e^x\)ではなく\(u=e^{-x}\)とおいておきます。

 

計算

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\log\biggl(\displaystyle\frac{e^x+1}{e^x-1}\biggr)dx\)

 

\(\displaystyle\int_{1}^{0}\log\biggl(\displaystyle\frac{1+u}{1-u}\biggr)\displaystyle\frac{-du}{u}\)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{u}\log\biggl(\displaystyle\frac{1+u}{1-u}\biggr)du\)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1+u|}{u}du\)\(-\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1-u|}{u}du\)

 

前半

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1+u|}{u}du\) ……①

 

ここで、無限級数の公式 \(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n\) を考え、この両辺を積分する。

 

\(\log|1+x|=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}\)

 

両辺を\(x\)でわり、積分をとります。それは①の積分です。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1+u|}{u}\)\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{n+1}\displaystyle\int_{0}^{1}u^{n}\)

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}\)

 

後半

こちらも前半同様。

\(-\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1-u|}{u}du\) ……②

 

無限級数の公式 \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n\) の両辺を積分する。

 

\(-\log|1-x|=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}\)

 

両辺を\(x\)でわり、積分をとります。それは②の積分です。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{-\log|1-u|}{u}\)\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n+1}\displaystyle\int_{0}^{1}u^{n}\)

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}\)

 

 

まとめ

上二つをまとめる。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1+u|}{u}du\)\(-\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log|1-u|}{u}du\)

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}\)\(+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}\)

 

\(=2\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(2k+1)^2}\)=\(2\biggl(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{5^2}+\cdots\biggr)\)

 

級数

ここで、バーゼル問題の等式より

\(\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=\)\(\biggl(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{5^2}+\cdots\biggr)\)\(+\biggl(\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{4^2}+\cdots\biggr)\)

 

変形すると橙の部分は

\(\biggl(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{5^2}+\cdots\biggr)\)\(=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=\displaystyle\frac{\pi^2}{8}\)

 

この結果を2倍した\(\displaystyle\frac{\pi^2}{4}\) がこの問題の答え。

 

答え

\(\displaystyle\frac{\pi^2}{4}\)

 

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