積分問題bot60

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積分問題bot60

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の60番の問題です。

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+2}}\)

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2+1}}\)

 

ここで\(x+1=\tan \theta\) とおくと

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{d\theta}{\cos \theta}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}\biggr|+C\) (この積分は略)

 

\(=\log\biggl|\displaystyle\frac{(1+\sin \theta)^2}{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)}\biggr|^{\frac{1}{2}}+C\)

 

\(=\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\biggr|+C\) 

 

\(=\log|x+1+\sqrt{x^2+2x+2}|+C\)  (変数を戻す)

 

 

答え

\(\log|x+1+\sqrt{x^2+2x+2}|+C\)

 

 

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