積分問題bot61

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積分問題bot61

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の61番の問題です。

 

 

積分問題botの51番の解説です。

 

これの\(n=4\)の場合です。

 

答え

\(\displaystyle\frac{\sqrt2\pi}{4}\) 

 

別解

 留数定理等を使います。

 

この経路での積分を考え、円の経路をBとおく。

 

\(\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx+\int_{B} \frac{1}{z^4+1}dz=\int_{C} \frac{1}{z^4+1}dz\)  \(\cdots\) ①

 

第一項

\(R\to \infty\) にすると第一項は問題の式の2倍に相当。

 

第二項

\(R\to \infty\) のとき、第二項を考える。

 

\(|z|>1\) の時、\(|z+1|^4\geq |z|^4-1=R^4-1>0\)

 

\(|f(z)| \leq \displaystyle\frac{1}{z^4+1}\) となる。

 

 よって、\(R\to\infty\)のとき

 

\(\biggl|\displaystyle\int_{B} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz\biggr| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^4-1}→0\)

 

右辺 

領域内の極は

\(\alpha=e^{\frac{i\pi}{4}}\) と \(\beta=e^{\frac{3i\pi}{4}}\)

 

これら二点でのそれぞれの留数は

 

\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\alpha\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\alpha^3}=\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}\)

 

\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\beta\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\beta^3}=\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\)

 

よってこの経路に沿った積分値は

 

\(2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}+\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\biggr)=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)

 

全体

①の等式に上の結果をすべて代入する。

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)

 

問題の積分はこれの半分の値なので

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt 2}\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt 2}\)

 

 

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