積分問題bot61

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積分問題bot61

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の61番の問題です。

 

 

解答1

 

複素積分の方法で解く。以下の経路で考える。

 

 

\(\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx+\displaystyle\int_{半円} \frac{1}{z^4+1}dz=\displaystyle\int_{一周} \frac{1}{z^4+1}dz\)  \(\cdots\) ①

 

第一項

\(R\to \infty\) にすると \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx\)

 

第二項

\(|z|>1\) の時、\(|z+1|^4\geq |z|^4-1=R^4-1>0\)

 

\(R\to\infty\)のとき

 

\(\biggl|\displaystyle\int_{半円} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz\biggr| \leq \displaystyle\int_{半円} \biggl|\displaystyle\frac{1}{z^4+1}\biggr| |dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^4-1}→0\)

 

右辺 

領域内の極は

\(\alpha=e^{\frac{i\pi}{4}}\) と \(\beta=e^{\frac{3i\pi}{4}}\)

 

それぞれの留数は

 

\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\alpha\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\alpha^3}=\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}\)

 

\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\beta\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\beta^3}=\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\)

 

つまり

\(\displaystyle\int_{一周} \frac{1}{z^4+1}dz=2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}+\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\biggr)=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)

 

全体

①の等式に上の結果をすべて代入する。

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)

 

\(\displaystyle\frac{1}{x^4+1}\)は偶関数なので以下のように変形できる。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx\)\(=\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt 2}\)

 

解答2

積分問題botの51番の解説です。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^n+1}=\displaystyle\frac{\pi}{n\sin \displaystyle\frac{\pi}{n}}\)

 

\(n=4\)の場合を代入すると

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^4+1}=\displaystyle\frac{\sqrt2\pi}{4}\) 

 

答え

\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\pi\)

 

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