積分問題bot62

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積分問題bot62

 

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の62番の問題です。

 

 

思考

なかなか特殊な解き方なので知らないと厳しいかもしれません。

 

計算

\(I=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x^n-1}{\log x}dx\) (Iは勝手においた)

 

nで偏微分します。(nという文字が悪かったかもしれないですが今回のnは普通の変数です。)

 

\(\displaystyle\frac{\partial I}{\partial n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x^n\log x}{\log x}dx=\displaystyle\int_{0}^{1}x^ndx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{n+1}\)

 

つまり、\(\displaystyle\frac{\partial I}{\partial n}=\displaystyle\frac{1}{n+1}\)。この両辺をnで積分。

 

\(I=\log|n+1|+C\)

 

\(n=0\) を代入すると\(C=0\)であることがわかる。

 

よって答えは    \(\log|n+1|\)。 

 

 

答え

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x^n-1}{\log x}dx=\log|n+1|\) 

 

 

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