積分問題bot63

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積分問題bot63

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の63番の問題です。

 

 

思考

三角関数の積分なので

\(t=\tan \displaystyle\frac{\theta}{2}\)の置き換えをします。

 

\(d\theta=\displaystyle\frac{2dt}{1+t^2}\)と\(\cos \theta=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)を代入。

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{d\theta}{a+b\cos \theta}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2dt}{a+b+(a-b)t^2}\)

 

\(=\displaystyle\frac{2}{a-b}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2+\displaystyle\frac{a+b}{a-b}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{2}{a-b}\sqrt{\displaystyle\frac{a-b}{a+b}}\tan^{-1}\sqrt{\displaystyle\frac{a-b}{a+b}}t+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}\tan^{-1}\sqrt{\displaystyle\frac{a-b}{a+b}}\tan\displaystyle\frac{\theta}{2}+C\)  (変数を戻した)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}\tan^{-1}\sqrt{\displaystyle\frac{a-b}{a+b}}\tan\displaystyle\frac{\theta}{2}+C\) 

 

 

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