積分問題bot64

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積分問題64番

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の64番の問題です。

 

 

思考

このままではできないので、置換します。置き換え方ですが、\(e^x\) だけ置き換える、\(\sqrt{1-e^x}\) 全体を置き換える、があるでしょう。

どちらでも行けますが、今回は後者でやってみます。

 

計算

\(t=\sqrt{1-e^x}\)とおく。 \(x=\log(1-t^2)\)なので微分すると

\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=\displaystyle\frac{2t}{t^2-1}\)

 

これらを代入して計算すると

\(\displaystyle\int\sqrt{1-e^x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2t^2}{t^2-1}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2(t^2-1)+2}{t^2-1}dt\)  (分子の次数を減らすための変形)

 

\(=\displaystyle\int \biggl[2+\displaystyle\frac{2}{(t-1)(t+1)}\biggr]dt\)

 

\(=2t+\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{t-1}-\displaystyle\frac{1}{t+1}\biggr)dt\)  (第二項は部分分数分解した)

 

\(=2t+\log \biggl|\displaystyle\frac{t-1}{t+1}\biggr|+C\)

 

\(=2\sqrt{1-e^x}+\log\biggl|\displaystyle\frac{\sqrt{1-e^x}-1}{\sqrt{1-e^x}+1}\biggr|+C\)  (変数を戻した)

 

 

答え

\(2\sqrt{1-e^x}+\log\biggl|\displaystyle\frac{\sqrt{1-e^x}-1}{\sqrt{1-e^x}+1}\biggr|+C\)

 

 

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