積分問題bot65

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積分問題65番

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の65番の問題です。

 

 

 思考

とりあえず展開してみてそれぞれ積分しようにも全くできません。

今回は \(\log x\) と \(\displaystyle\frac{1}{x}\) が微分積分関係にあることをうまく利用して部分積分でやっていきます。

 

計算

\(\displaystyle\int e^x\log x dx+\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^x}{x}dx\)

 

第一項を部分積分します。

 

\(\displaystyle\int e^x\log x dx=e^x\log x-\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^x}{x}dx\)

 

これの第二項は問題の積分の第二項と相殺して消えます。

つまり、問題の答えは

 

\(=e^x\log x+C\)

 

 

答え

\(e^x\log x+C\)

 

 

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