積分問題bot66

シェアする

積分問題66番

https://twitter.com/integralbot77

 

の66番の問題です。

 

 

思考

指数部分が扱いにくいので置き換えます。

 

計算

\(t=2^x\)とおく。

 

\(x=\log_{2} t=\displaystyle\frac{\log t}{\log 2}\) より微分すると\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=\displaystyle\frac{1}{t\log 2}\)

 

これらを代入する。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{2^x}{4^x+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{\log 2(t^2+1)}\) (代入)

 

\(=\displaystyle\frac{\tan^{-1} t}{\log 2}+C\)  (積分)

 

\(=\displaystyle\frac{\tan^{-1} (2^x)}{\log 2}+C\) (変数戻す)

 

答え

\(\displaystyle\frac{\tan^{-1} (2^x)}{\log 2}+C\)

 

シェアする