積分問題bot68

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積分問題68番

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の68番の問題です。

 

 

思考

分母を因数分解すると\(x(x^2+1)\)となります。

ここからそのまま部分分数分解してもいいですが、今回は \((x-1)^2=(x^2+1)-2x\)  で、\((x^2+1)\)が登場するということを利用してみます。

 

 

計算1

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x-1)^4}{x(x^2+1)}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x^2+1-2x)^2}{x(x^2+1)}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{(x^2+1)^2}{x(x^2+1)}-\displaystyle\frac{4x(x^2+1)}{x(x^2+1)}+\displaystyle\frac{4x^2}{x(x^2+1)}\biggr)dx\)

 

\(=\displaystyle\int\biggl(x+\displaystyle\frac{1}{x}-4+\displaystyle\frac{4x}{x^2+1}\biggr)dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2-4x+\log|x|+2\log(x^2+1)+C\)

 

 

計算2

普通は素直にこちらで計算すると思います。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x-1)^4}{x^3+x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^4-4x^3+6x^2-4x+1}{x(x^2+1)}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x^3+x)(x-4)+5x^2+1}{x(x^2+1)}dx\) ※割り算してる(分子の次数を下げるため)

 

\(=\displaystyle\int\biggl(x-4+\displaystyle\frac{5x^2+1}{x(x^2+1)}\biggr)dx\)

 

\(=\displaystyle\int\biggl(x-4+\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{4x}{x^2+1}\biggr)dx\) ※後半を部分分数分解

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2-4x+\log|x|+2\log(x^2+1)+C\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{2}x^2-4x+\log|x|+2\log(x^2+1)+C\)

 

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