積分問題bot7

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積分問題bot7

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の7番の問題です。

 

 

 

思考

分母が因数分解できるので、実行してそれから部分分数分解します。

 

計算

\(\displaystyle\frac{dx}{x^3+1}=\displaystyle\frac{dx}{(x+1)(x^2-x+1)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{x+1}+\displaystyle\frac{-x+2}{x^2-x+1}\biggr)dx\)  (部分分数分解)

 

第一項

そのまま積分計算します。

 

\(\displaystyle\frac{1}{3}\log |x+1|+C\)

 

第二項

 \(\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{-x+2}{x^2-x+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\int\displaystyle\frac{-(2x-1)+3}{x^2-x+1}dx\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\biggl(x-\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\biggr)^2}\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{6}\log(x^2-x+1)+\displaystyle\frac{\sqrt3}{3}\tan^{-1} \biggl(\displaystyle\frac{2x-1}{\sqrt3}\biggr)+C \)

 

\(\tan^{-1}x\) が登場する積分に関しては以下の事実を使用しました。

 

分母が二次式の積分を解説していきます。

 

答え

上の結果をまとめると答えとなります。

 

\(\displaystyle\frac{1}{3}\log |x+1|-\displaystyle\frac{1}{6}\log(x^2-x+1)+\displaystyle\frac{\sqrt3}{3}\tan^{-1} \biggl(\displaystyle\frac{2x-1}{\sqrt3}\biggr)+C \)

 

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