積分問題bot70

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積分問題70番

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の70番の問題です。

 

 

 

思考

見た目がごついですが、\(\log x\)を置き換えると意外と素直です。

 

計算1

\(t=\log x\)とおくと、\(x=e^t\)となり、\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=e^t=x\)

 

これらを問題の積分に代入。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x\log x(1+\log x)}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t(t+1)}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+1}\)

 

 \(=\log\biggl|\displaystyle\frac{t}{t+1}\biggr|+C=\log\biggl|\displaystyle\frac{\log x}{1+\log x}\biggr|+C\)

 

 計算2

置換しなくてもできます。やっていることは同じですが。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x\log x(1+\log x)}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x\log x}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x(1+\log x)}\)

 

\(=\log |\log x|-\log|1+\log x|+C\)

 

\(=\log\biggl|\displaystyle\frac{\log x}{1+\log x}\biggr|+C\)

 

計算になれていればこちらは簡潔で分かりやすいと思います。

 

 

答え

\(\log\biggl|\displaystyle\frac{\log x}{1+\log x}\biggr|+C\)

 

 

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