積分問題bot71

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積分問題71番

https://twitter.com/integralbot77

の71番の問題です。

 

 

 

思考

対称性を利用します。(\(x\)を\(-x\)に置き換えたり)

 

計算

\(I=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\sin ^2 x}{1+e^x}dx\)とおく。

 

\(x=-t\)とおくと

 

\(I=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\sin ^2 t}{1+e^{-t}}(-dt)=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{e^t\sin ^2 t}{e^t+1}dt\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{e^x\sin ^2 x}{e^x+1}dx\)

 

ここで青字の二式より

 

\(2I=I+I\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\sin ^2 x}{1+e^x}dx+\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{e^x\sin ^2 x}{1+e^x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^2 x dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2}dx\)  (半角公式利用)

 

\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x\biggr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

 

 

\(2I=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)より\(I=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

 

 

答え

\(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\sin ^2 x}{1+e^x}dx=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

 

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