積分問題bot72

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積分問題72番

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の72番の問題です。

 

 

 

計算

今回は置換してやっていきます。

 

\(x=\tan \theta\)とおく。(この置き換えは分母の形から考えてやってみてます)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{\log(1+\tan \theta)}{1+\tan ^2\theta}\cdot \displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2 \theta}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(1+\tan \theta)d\theta\)

 

ここからの変形が\(\tan \theta\)を戻すとループしてしまうので行き詰まりかと思うかもしれませんが

\(\tan \theta=\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) の変形をします。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log(\displaystyle\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\cos \theta})d\theta\)\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sin \theta+\cos \theta) d\theta\)\(-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (\cos \theta) d\theta\)

 まずは第一項を計算していきます。

 

 第一項

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sin \theta+\cos \theta) d\theta\)\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log \biggl(\sqrt 2\cos (\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4})\biggr) d\theta\)

 

\(\cos \theta\)にまとめた理由は後で相殺させるのを見据えて(実際解くときは手探り状態ながらに、うまくいくと信じてやっていく)

 

 \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log \biggl(\sqrt 2\cos (\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4})\biggr) d\theta=\)\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log \sqrt 2 d\theta\)\(+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log \biggl(\cos (\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4})\biggr) d\theta\)

 

前半

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log \sqrt 2 d\theta\)\(=\displaystyle\frac{\pi}{4}\log \sqrt 2=\displaystyle\frac{\pi}{8}\log 2\)

 

後半

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log \biggl(\cos (\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4})\biggr) d\theta\) で、\(\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}=-t\)とおく。(負号は範囲を変えないため)

 

\(\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \log \biggl(\cos (-t)\biggr) (-dt)=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (\cos \theta) d\theta\)

 

第一項まとめ

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sin \theta+\cos \theta) d\theta\)\(=\displaystyle\frac{\pi}{8}\log 2+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (\cos \theta) d\theta\)

 

計算続き

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sin \theta+\cos \theta) d\theta\)\(-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (\cos \theta) d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{8}\log 2+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (\cos \theta) d\theta\)\(-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (\cos \theta) d\theta=\displaystyle\frac{\pi}{8}\log 2\)

 

 が答えとなります。

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{\pi}{8}\log 2\)

 

 

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