積分問題bot73

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積分問題73番

https://twitter.com/integralbot77

の73番の問題です。

 

 

思考

一問前(積分問題bot72)の答えを利用します。

やることは部分積分です。

 

計算

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\tan^{-1} x}{1+x}dx=\biggl[\tan^{-1} x \log(1+x)\biggr]_{0}^{1}-\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log(x+1)}{1+x^2}dx\)

 

ここからそれぞれ計算します。

 

第一項

\(x=1\)の時、\(\tan^{-1} x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)より

 

\(\displaystyle\frac{\pi}{4}\times \log 2-0=\)\(\displaystyle\frac{\pi}{4}\log 2\)

 

第二項

積分問題botの72番の解説です。

の答えより\(\displaystyle\frac{\pi}{8}\log 2\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{\pi}{4}\log 2-\displaystyle\frac{\pi}{8}\log 2\)\(=\displaystyle\frac{\pi}{8}\log 2\)

 

が答えです。

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