積分問題bot74

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積分問題74番

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の74番の問題です。

 

 

 

思考

そのまま部分積分して計算してもいいですが、一応分解してからそれぞれやっていきましょう。あと、この問題は基本問題です。

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2+1}{e^x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2}{e^x}dx\)\(+\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{e^x}dx\)

 

それぞれ計算します。

 

第一項

部分積分を繰り返します。

 

\(\displaystyle\int x^2 e^{-x}dx\)

\(=-x^2e^{-x}+\displaystyle\int 2x e^{-x}dx=-x^2e^{-x}-2xe^{-x}+\displaystyle\int2e^{-x}dx\)

\(=-x^2e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}+C\)

\(=-\displaystyle\frac{x^2+2x+2}{e^x}+C\)

 

第二項

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{e^x}dx\)

\(=\displaystyle\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C\)

\(=-\displaystyle\frac{1}{e^x}+C\)

 

 

結果

\(-\displaystyle\frac{x^2+2x+2}{e^x}\)\(-\displaystyle\frac{1}{e^x}+C\)

 

\(=-\displaystyle\frac{x^2+2x+3}{e^x}+C\)

 が答えです。

 

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