積分問題bot75

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積分問題75番

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の75番の問題です。

 

 

 

思考

三角関数のお馴染みの置換をしてももちろん解けますが、今回は分母を合成して積分してみます。

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt3\sin x-\cos x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\sin \biggl(x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr)}\)

 

\(\displaystyle\frac{1}{\sin x}\)の積分

 

三角関数の積分で万能なワイエルシュトラスの置換を解説。

にある通りです。

 

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sin x} dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} } \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt=\displaystyle\frac{1}{t}dt\)\(= \log t + C\)

 

\(= \log \left| \tan \displaystyle\frac{x}{2} \right|+ C\) です。

 

続き

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\sin \biggl(x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \tan\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{12}\biggr)+C\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{2}\log \tan\biggl(\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{12}\biggr)+C\)

 

 

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