積分問題bot76

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積分問題76番

https://twitter.com/integralbot77

の76番の問題です。

 

思考

見た目は多少ごついですが逆に考えるとできることが限られています。

発想として、\(t=\log x\)とおくか、全体を置き換えるか、ぐらいしか出てきません。と言っても後者は厳しいでしょう。今回は前者です。

 

計算

\(t=\log x\) とおく。\(x=e^t\)となり、\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=e^t\)であることを使って変形していきます。

 

\(\displaystyle\int \sin (\log x)dx\)\(=\displaystyle\int e^t\sin t dt\)

 

すると、これは頻出積分の形です。

 

積分

① \(\biggl[e^t\sin t\biggr]’=e^t(\sin t+\cos t)\)

② \(\biggl[e^t\cos t\biggr]’=e^t(-\sin t+\cos t)\)

 

①-②より \(\biggl[e^t(\sin t-\cos t)\biggr]’=2e^t\sin t\)

 

 

 結果

\(\displaystyle\int e^t\sin t dt\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}e^t(\sin t-\cos t)+C\)\(=\displaystyle\frac{1}{2}x\sin (\log x)-\displaystyle\frac{1}{2}x\cos (\log x)+C\)

 

 

 

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