積分問題bot78

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積分問題78番

https://twitter.com/integralbot77

の78番の問題です。

 

 

 

思考

複素積分。留数の原理を使います。

 

計算

はじめに

\(z=e^{i\theta}\)と置きます。すると、\(\displaystyle\frac{dz}{d\theta}=iz\)

 

① \(z=e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\)

② \(z^{-1}=e^{-i\theta}=\cos \theta-i\sin \theta\)

 

(①-②)÷2より  \(\cos \theta=\displaystyle\frac{z+z^{-1}}{2}\)

これらの事実を使っていきます。

 

本題

 問題の積分をIとおくと

 

\(I=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{a^2-2a\cos \theta+1}\)

 

\(I=-\displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{az^2-(1+a^2)z+a}\)  (経路は単位円)

 

\(I=\displaystyle\frac{i}{2}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{(az-1)(z-a)}\) 

 

場合分け

(aの範囲で極がかわる)

 

\(|a|>1\)のとき

\(\displaystyle\frac{1}{a}\)が極。

 

\(\displaystyle\frac{i}{2}\cdot 2\pi i\cdot \displaystyle\frac{1}{a}\cdot \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}-a}=\displaystyle\frac{\pi}{a^2-1}\)

 

\(|a|<1\)のとき

\(a\)が極。

 

\(\displaystyle\frac{i}{2}\cdot 2\pi i\cdot\displaystyle\frac{1}{a^2-1}=\displaystyle\frac{\pi}{1-a^2}\)

 

答え

まとめると、\(\displaystyle\frac{\pi}{|a^2-1|}\) となる。

 

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