積分問題bot79

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積分問題79番

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の79番の問題です。

 

 

 

思考

分子をマクローリン展開する。あとはただただ計算する。

 

計算 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{\log(1+x)}{x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{x}\biggl(x-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{3}-\displaystyle\frac{x^4}{4}\cdots +(-1)^n\displaystyle\frac{x^n}{n}\cdots\biggr)dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(1-\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{x^2}{3}-\displaystyle\frac{x^3}{4}\cdots +(-1)^n\displaystyle\frac{x^{n-1}}{n}\cdots \biggr) dx\)

 

\(=\biggl[x-\displaystyle\frac{x^2}{2^2}+\displaystyle\frac{x^3}{3^2}-\displaystyle\frac{x^4}{4^2}\cdots +(-1)^n\displaystyle\frac{x^n}{n^2}\cdots \biggr]_{0}^{1}\)

 

\(=1-\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}-\displaystyle\frac{1}{4^2}\cdots +\displaystyle\frac{(-1)^n}{n^2}\cdots\)

 

\(=\biggl(1+\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{4^2}\cdots +\displaystyle\frac{1}{n^2}\cdots\biggr)-2\biggl(\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{4^2}+\displaystyle\frac{1}{6^2}\cdots \biggr)\)

 

\(=\biggl(1+\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\displaystyle\frac{1}{4^2}\cdots +\displaystyle\frac{1}{n^2}\cdots\biggr)-\displaystyle\frac{2}{2^2}\biggl(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}\cdots \biggr)\)

 

\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^2}-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^2}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}-\displaystyle\frac{\pi^2}{12}=\displaystyle\frac{\pi^2}{12}\)

 

※厳密に書くならシグマ使用してください。

シグマだと簡潔ですが分かりにくいと思ったので展開した形で今回は書きました。

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{\pi^2}{12}\)

  

 

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