積分問題bot8

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積分問題bot8

https://twitter.com/integralbot77

の8番の問題です。

 

 

思考

有名な積分です。

まずは部分積分を行います。(\(x\)の微分がかけられていると考えて)

\(x=\tan\theta\)と置き換えても解ける。

 

計算1

\(\displaystyle\int \sqrt{1+x^2} dx\)

 

\(=x\sqrt{1+x^2}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx\)

 

\(=x\sqrt{1+x^2}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2+1-1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)

 

\(=x\sqrt{1+x^2}-\)\(\displaystyle\int\sqrt{1+x^2}dx\)\(+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}\)

 

よって

\(2\displaystyle\int \sqrt{1+x^2} dx\)\(=x\sqrt{x^2+1}+\log(x+\sqrt{x^2+1})+C\)

 

https://www.youtube.com/watch?v=Q5LfmbuL1yI

 

※\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}\)の積分に関してはこちらに載せました。

 

 

計算2

\(\displaystyle\int \sqrt{1+x^2} dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{d\theta}{\cos^3 \theta}\)  \(x=\tan\theta\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos \theta}{\cos^4 \theta}d\theta\) 

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t^2-1)^2}\)  \(t=\sin \theta\) とした

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{t+1}+\displaystyle\frac{1}{(t+1)^2}-\displaystyle\frac{1}{t-1}+\displaystyle\frac{1}{(t-1)^2}\biggr)dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{t+1}{t-1}\biggr|-\displaystyle\frac{1}{4(t+1)}-\displaystyle\frac{1}{4(t-1)}+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\biggr|+\displaystyle\frac{\sin \theta}{2\cos^2 \theta}+C\)  

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\displaystyle\frac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^2+1})+C\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\displaystyle\frac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^2+1})+C\)

 

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