積分問題bot80

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積分問題80番

https://twitter.com/integralbot77

の80番の問題です。

 

 

 

思考

うまく変形させて、分子が分母の微分形になるようにします。(作り出します)

 

計算

\(\displaystyle\frac{3\sin x-4\cos x}{\sin x-2\cos x}=a\cdot\displaystyle\frac{2\sin x+\cos x}{\sin x-2\cos x}+b\)

 

というように\(a\)と\(b\)を置きます。(微分形を無理やり作り出す)分母を払うと

 

\(3\sin x-4\cos x=(2a+b)\sin x+(a-2b)\cos x\) となります。

 

これを解くと \(a=\displaystyle\frac{2}{5}  ,  b=\displaystyle\frac{11}{5}\)

 

よって問題の積分は以下のように変形可能である。

 

\(\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{2}{5}\cdot\displaystyle\frac{2\sin x+\cos x}{\sin x-2\cos x}+\displaystyle\frac{11}{5}\biggr)dx\)

 

これを解くと

 

\(\displaystyle\frac{2}{5}\log |\sin x-2\cos x|+\displaystyle\frac{11}{5}x+C\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{2}{5}\log |\sin x-2\cos x|+\displaystyle\frac{11}{5}x+C\)

 

 

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