積分問題bot82

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積分問題82番

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の82番の問題です。

 

 

思考

部分積分をしますが、何回もやっていきます。

 

計算

\(\displaystyle\int x^n e^{-x}dx=I_{n}\) とおく。

 

\(\displaystyle\int x^n e^{-x}dx=-x^n e^{-x}+\displaystyle\int nx^{n-1}e^{-x}dx=-x^n e^{-x}+nI_{n-1}\)

 

\(\displaystyle\int x^{n-1} e^{-x}dx=-x^{n-1} e^{-x}+\displaystyle\int (n-1)x^{n-2}e^{-x}dx=-x^{n-1} e^{-x}+(n-1)I_{n-2}\)

 

\(\cdots\)

 

\(\displaystyle\int xe^{-x}dx=-x e^{-x}+\displaystyle\int e^{-x}dx=-x e^{-x}-e^{-x}+C\)

 

上から\(n\)、\(n(n-1)\)、\(\cdots\)、\(n!\)をかけて総和をとる。

 

\(-(x^n+(x^n)’+(x^n)^{(2)}+\cdots +(x^n)^{(n)})e^{-x}+C\)

 

答え

\(-(x^n+(x^n)’+(x^n)^{(2)}+\cdots +(x^n)^{(n)})e^{-x}+C\)

 

※ちなみに、これは一般の\(f(x)\) に関して成立する。

 

 

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