積分問題bot83

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積分問題83番

https://twitter.com/integralbot77

の83番の問題です。

 

 

 

思考

そのまま部分積分しても、置換しても解けます。

部分積分では広義積分になります。

 

計算1

置換積分でやっていきます。

 

\(t=\log x\) とおく。

 

\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\frac{1}{x}\) より、\(dx=e^t dt\)

 

※置換したので積分範囲が変わってます。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\log x dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}t e^t dt=\biggl[te^t\biggr]_{-\infty}^{0}-\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^t dt=\biggl[te^t-e^t\biggr]_{-\infty}^{0}=\)\(-1\)

 

 のようになります。

 

計算2

広義積分の考え方。

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\log x dx\) を部分積分で直接解きます。

しかし、\(\log 0\)が出てきてしまうので、ここを\(m\)にして極限を飛ばします。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\log x dx=\displaystyle\lim_{m\to 0}\displaystyle\int_{m}^{1}\log x dx\)

 

\(=\displaystyle\lim_{m\to 0}\biggl[x\log x-x\biggr]_{m}^{1}\)

 

\(=\displaystyle\lim_{m\to 0} (-1-m\log m+m)\)

 

\(=-1\)

 

計算3

図を書いて考えると、問題の積分領域は\(e^x\)の「\(-\infty\)~\(0\)」までの所と同じことが分かります。

式で書くと

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\log x dx=-\displaystyle\int_{-\infty}^{0} e^x dx\)

 

※積分領域が\(x\)軸より下なので、変換したときに負号がつきます。

 

\(-\displaystyle\int_{-\infty}^{0} e^x dx=-\biggl[e^x\biggr]_{-\infty}^{0}\)

 

\(=-1\)

 

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