積分問題bot84

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積分問題84番

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の84番の問題です。

思考

\(=t\) あたりが定石でしょうが、今回の問題では分子の根号を外してうまく積分するという方法があります。

計算1

分子の根号を外します。

\(\displaystyle\int\sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{1+x}}dx\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\)   \(\cdots\) 分子分割

\(=\sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}+C\)

※第一項は公式。第二項は、\(t=x^2\)と置くと解ける。

計算2

\(t=\sqrt{\displaystyle\frac{1+x}{1-x}}\) とおくと   \(x=\displaystyle\frac{t^2-1}{t^2+1}\)で

\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=\displaystyle\frac{4t}{(t^2+1)^2}\)より

\(\displaystyle\int\sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{1+x}}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{4}{(t^2+1)^2}dt\)

\(=\displaystyle\int 4\cos^2\theta d\theta\)   ※\(t=\tan\theta\)

\(=\displaystyle\int 2(1+\cos 2\theta) d\theta\) 

\(=2\theta+\sin 2\theta+C\)

\(=2\theta+2\cos^2 \theta\tan\theta+C\)

\(=2\tan^{-1} t+\displaystyle\frac{2t}{t^2+1}+C\)

\(=2\tan^{-1} \sqrt{\displaystyle\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt{1-x^2}+C\)

答え

\(\sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}+C\)

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