積分問題bot84

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積分問題84番

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の84番の問題です。

 

 

 

思考

\(=t\) あたりが定石でしょうが、今回の問題では分子の根号を外してうまく積分するという方法があります。

 

計算

分子の根号を外します。

\(\displaystyle\int\sqrt{\displaystyle\frac{1-x}{1+x}}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

 

ここで、分子を分割します。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

 

\(=\sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}+C\)

 

最後の変形に関して。

第一項は公式。

第二項は、\(t=\sqrt{1-x^2}\)と置くと、\(xdx=-tdt\) となり

 

\(-\displaystyle\int\displaystyle\frac{-t}{t}dt=\displaystyle\int dt=t+C=\)\(\sqrt{1-x^2}+C\)  となる。

 

答え

\(\sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}+C\)

 

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