積分問題bot86

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積分問題86番

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の86番の問題です。

 

 \(a>0\)

 

 

複素積分

 

 

という経路を取ります。

実軸上「\(-R\)~\(R\)」\(+\)「半円」=「一周積分」

 

今、実軸上「\(-R\)~\(R\)」の部分の積分を求めたい。間接的に求めるので、まずはほかの二項から考えます。

 \(f(z)=\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dz \) として。

 

一周積分

これは \(f(z)=\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dz \)

 

半円の中に含まれている極は、 \(z=ia\) なので、この値は

\(2\pi i\times\biggl[\displaystyle\frac{e^{iz}}{2z}\biggr]_{z=ia}\)\(=2\pi i\times \displaystyle\frac{e^{-a}}{2ia}=\)

 

\(\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)

 

半円

結論から言うと、これは0になります。以下、示します。

\(|f(z)|\) を上から押さえます。円上では\(|z|=R\) が成り立つ。

 

三角不等式。

\(|z^2+a^2|\geq |z|^2-a^2=R^2-a^2\)

 

また、

\(|e^{iz}|=|e^{i(x+yi)}|=|e^{ix-y}|=|e^{ix}||e^{-y}|=e^{-y}\leq 1\) (\(y\geq 0\)なので)

 

これら二つから、次のような不等式が成立。

 \(|f(z)|=\biggl|\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\biggr|\leq \displaystyle\frac{1}{R^2-a^2}\)

よって

\(|\displaystyle\int_{半円}f(z) dz|\leq \displaystyle\int_{半円}|f(z)||dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^2-a^2}\)

これは、\(R\) を無限大にすると\(0\) に収束。

 

結果

実軸上「\(-R\)~\(R\)」\(+\)「半円」=「一周積分」

 

半円部分が0で、一周積分部分が \(\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)なので

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)

 

これの第二項は奇関数なので、\(0\)となる。

 

第一項は、偶関数なので、問題の積分の答えは以下のようになる。

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2ae^a}\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{\pi}{2ae^a}\)

 

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