積分問題bot87

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積分問題87番

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の87番の問題です。

解法1

\(1=\sin^2 x+\cos^2 x\) と考えます。まあまあトリッキーですが、知っていればきれいに解けます。

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin^2 x\cos^2 x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}dx\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos^2 x}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin^2 x}\)

\(=\tan x-\displaystyle\frac{1}{\tan x}+C\)

解法2

二倍角を使用して、分母をまとめます。初見ではおそらくこの解法になるでしょう。係数でミスしないように注意して計算します。

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin^2 x\cos^2 x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{4}{\sin^2 {2x}}dx\)

\(=-\displaystyle\frac{2}{\tan {2x}}+C\)

※解法1と2で、一見答えが違っているように見えますが、 2の方の答えの分母を二倍角で展開して計算すると1と一致することが分かります。

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