積分問題bot88

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積分問題88番

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の88番の問題です。

 

 

 

思考

絶対値の中身が正か負かで分けます。計算ミスに注意すれば、よくある絶対値の積分の基本問題です。

 

計算

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin x-\cos x|dx\)

 

絶対値の中

\(\sin x-\cos x\)  について考える。(\(0 \leq x \leq \pi\) )

 

\(\sin x-\cos x=\sqrt2\sin \biggl(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)\) であるので、\(\sin x-\cos x\) は、

 

\(0 \leq x \leq \displaystyle\frac{\pi}{4}\)のとき、負。\(\displaystyle\frac{\pi}{4} \leq x \leq \pi\) のとき、正。

(グラフを書いても分かる。)

 

積分計算

積分は次のようになる。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin x-\cos x|dx=\)\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(-\sin x+\cos x)dx+\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}(\sin x-\cos x)dx\)

 

\(=\biggl[\cos x+\sin x\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}+\biggl[-\cos x-\sin x\biggr]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\)

 

\(=\biggl(\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}\biggr)-1+(1-0)-\biggl(-\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}\biggr)=2\sqrt 2\)

 

答え

\(2\sqrt 2\)

 

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