積分問題bot89

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積分問題89番

https://twitter.com/integralbot77

の89番の問題です。

 

 

 

思考

\(\log x\) が邪魔です。微分すれば\(\displaystyle\frac{1}{x}\) となって、扱いやすくなります。→部分積分を使用します。

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\log x}{(x-1)^2}dx\)

 

\(=-\displaystyle\frac{\log x}{x-1}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x(x-1)}\)  (部分積分)

 

\(=\displaystyle\frac{\log x}{1-x}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x-1}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x}\)    (部分分数分解)

 

\(=\displaystyle\frac{\log x}{1-x}+\log\biggl|\displaystyle\frac{x-1}{x}\biggr|+C\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{\log x}{1-x}+\log\biggl|\displaystyle\frac{x-1}{x}\biggr|+C\)

 

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