積分問題bot90

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積分問題90番

https://twitter.com/integralbot77

の90番の問題です。

 

 

 

思考

以前に積分問題で、\(\displaystyle\int\sqrt{x^2-1}dx\) というのがありましたが、これも同じ感じです。知らないと置換は厳しいかもです。

 

計算

\(x=\displaystyle\frac{1}{\cos \theta}\) と置き換えます。(根号をはずすためこのような置き換えになります。)

 

\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}\)

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos^2 \theta}{\tan \theta}\cdot\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int \cos \theta  d\theta=\sin \theta+C\)

 

\(=\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{x^2}}+C=\)\(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C\)

 

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