積分問題bot91

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積分問題91番

https://twitter.com/integralbot77

の91番の問題です。

 

 

思考

一見、方針の立て方に困るかもしれません。

結論から言うと、\(\log x\)を置換して解きます。

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x\log^2 x-4x}\)

 

\(t=\log x\) とおく。

\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=\displaystyle\frac{1}{x}\)であり、これを変形すると、\(dx=xdt\)となるのでこれを代入。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{xdt}{xt^2-4x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t^2-4}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-2)(t+2)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t-2}-\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t+2}\)  (部分分数分解)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{t-2}{t+2}\biggr|+C\) (積分してまとめた)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{\log x-2}{\log x+2}\biggr|+C\)  (変数を元に戻す。)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{\log x-2}{\log x+2}\biggr|+C\) 

 

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