積分問題bot93

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積分問題93番

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の93番の問題です。

 

 

思考

① \((\tan \theta)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) であることをできるだけ利用する。

 

② \(\tan^2 \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}-1\) も使う。

 

計算

\(\displaystyle\int\tan^5 \theta d\theta=\displaystyle\int \tan^3 \theta\cdot\tan^2 \theta d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int \tan^3 \theta\)\(\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}-1\biggr)\)\(d\theta\)  \(\cdots\)   ②使用

 

\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{\tan^3 \theta}{\cos^2 \theta} d\theta-\displaystyle\int \tan^3 \theta d\theta\)    \(\cdots\)    展開した。

 

\(=\displaystyle\int \tan^3 \theta(\tan \theta)’ d\theta-\displaystyle\int \tan \theta\cdot \tan^2 \theta d\theta\)   \(\cdots\)     ①使用

 

\(=\displaystyle\int \tan^3 \theta(\tan \theta)’ d\theta-\displaystyle\int \tan \theta\cdot\)\(\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}-1\biggr)\)\( d\theta\)   \(\cdots\)    ②を再び使用。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\tan^4 \theta-\displaystyle\int \tan \theta(\tan \theta)’ d\theta+\displaystyle\int \tan \theta d\theta\)   \(\cdots\)  展開して①を使用。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\tan^4 \theta-\displaystyle\frac{1}{2} \tan^2 \theta-\displaystyle\int \displaystyle\frac{(\cos \theta)’}{\cos \theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\tan^4 \theta-\displaystyle\frac{1}{2} \tan^2 \theta-\log|\cos \theta|+C\)

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{4}\tan^4 \theta-\displaystyle\frac{1}{2} \tan^2 \theta-\log|\cos \theta|+C\)

 

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