積分問題bot95

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積分問題95番

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の95番の問題です。

 

 

思考

93や94番の問題のように下の二つの性質を利用します。

 

① \((\tan \theta)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) であることをできるだけ利用する。

 

② \(1+\tan^2 \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}\) も使う。

 

計算

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{d\theta}{\cos^6 \theta}\)

 

\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\cos^4 \theta}\cdot\displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\)  (上の事実を使うためにこのように考える。)

 

\(=\displaystyle\int \)\((1+\tan^2 \theta)^2\)\((\tan \theta)’ d\theta\)  \(\cdots\)     ①②両方利用。

 

\(=\displaystyle\int (\tan^4 \theta+2\tan^2 \theta+1)(\tan \theta)’ d\theta\) 

 

\(=\displaystyle\frac{1}{5}\tan^5 \theta+\displaystyle\frac{2}{3}\tan^3 \theta+\tan \theta+C\)

 

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{1}{5}\tan^5 \theta+\displaystyle\frac{2}{3}\tan^3 \theta+\tan \theta+C\)

 

簡潔に書くと数行で終わってしまいますが、重要な要素をたくさん含んでいます。

 

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