積分問題bot97

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積分問題97番

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の97番の問題です。

 

 

思考

\(\sin^{-1} x\) は扱いづらいので、部分積分で消します。

 

\((\sin^{-1} x)’=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) を利用する。

 

計算過程で、\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1+x}}=2\sqrt{1+x}+C\) を使用している。

 

計算

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1+x}}\)

 

\(=2\sqrt{1+x}\sin^{-1} x-\displaystyle\int\displaystyle\frac{2\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x^2}}dx\)   \(\cdots\)     部分積分

 

\(=2\sqrt{1+x}\sin^{-1} x-2\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1-x}}\)   \(\cdots\)     約分する

 

\(=2\sqrt{1+x}\sin^{-1} x-2(-2\sqrt{1-x})+C\)

 

\(=2\sqrt{1+x}\sin^{-1} x+4\sqrt{1-x}+C\)

 

 

答え

\(2\sqrt{1+x}\sin^{-1} x+4\sqrt{1-x}+C\)

 

 

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