積分問題bot98

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積分問題98番

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の98番の問題です。

(\(m\)と\(n\)は整数)

 

思考

有名問題です。和積公式を使って計算すれば良いのですが、場合分けに注意します。

場合分けの理由については最後に述べました。 

 

計算

 

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\cos (m+n)x + \cos (m-n)x\biggr)dx\)    \(\cdots\)   和積公式を利用した。

 

 

\(m\neq n\)  

\(=\bigg[\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\frac{\sin (m+n)x}{m+n}+\displaystyle\frac{\sin (m-n)x}{m-n}\biggr)\biggr]_{-\pi}^{\pi}=0\)

(\(m\)と\(n\)が整数であるため。\(\sin(m+n)x=0\)、\(\sin(m-n)x=0\)となる。)

 

\(m=n\)  

\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\cos (2m)x +1\biggr)dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[\displaystyle\frac{1}{2m}\sin 2mx+x\biggr]_{-\pi}^{\pi}=\pi\)

 

まとめ

\(m=n\)のとき \(\pi\)

\(m\neq n\) のとき \(0\)。

 

場合分けをした理由は、\(m\neq n\) と仮定して解いたときに分母に\(m-n\) が登場するためです。

\(m=n\) なら分母に\(0\)が来てしまうため、同様の計算で処理できず、場合分けの必要性が生じる。

 

 

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