積分問題bot99

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積分問題bot99

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 の99番の問題です。

 

 

思考

まずは、積分の中身を変形して置き換えていきます。そのあとは特有のテクニック感は多少あります。

 

計算

\(\displaystyle\int_{1}^{\infty}\biggl(\displaystyle\frac{(\log t)^3}{t-1}-\displaystyle\frac{(\log t)^3}{t}\biggr)dt\)

 

\(=\displaystyle\int_{1}^{\infty}\displaystyle\frac{(\log t)^3}{t^2-t}dt\)

 

\(x=\log t\) とおくと、\(t=e^x\) で、\(dt=e^x dx\)であり、積分は次のようになる。(積分範囲の変化にも注意)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^3}{e^{2x}-e^x}\cdot e^x dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^3}{e^x-1}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^3}{e^x(1-\frac{1}{e^x})}dx\)

 

 ここで無限級数を式を逆に利用。(1より小さい)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3 e^{-x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{e^{nx}}dx\)

 

今回はシグマと積分は交換できる。

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3 e^{-(n+1)x}dx\)

 

ここで指数部分の処理のため置き換える。\(t=(n+1)x\)

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{t^3}{(n+1)^3}\cdot e^{-t}\cdot \displaystyle\frac{dt}{n+1}\)

 

変数と関係ないところは外に出せます。

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{(n+1)^4}\displaystyle\int_{0}^{\infty}t^3 e^{-t}dt\)

 

\(=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^4}\biggl[-(t^3+3t^2+6t+6)e^{-t}\biggr]_{0}^{\infty}\)

 

\(=6\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^4}\)

 

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^4}\)はゼータ関数の\(s=4\) の場合で、値は\(\displaystyle\frac{\pi^4}{90}\)

 

答え

\(\displaystyle\frac{\pi^4}{15}\)

 

 

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