数学問題bot1

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問題

https://twitter.com/mathbot77 の1番の問題です。

 

 

下準備

この問題を解く準備として

 

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx\)  を解きます。

 

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\cos (m+n)x + \cos (m-n)x\biggr)dx\)  \(\cdots\)      ① ※和積公式を使用した。

 

これは \(m=n\)の時と\(m \neq n\) の時で計算が変わってきます。

積分すると分母に \(m-n\) が出てくるので場合分けが必要になります。

 

\(m \neq n\) の時

そのまま積分計算をする。

 

\(=\bigg[\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\frac{\sin (m+n)x}{m+n}+\displaystyle\frac{\sin (m-n)x}{m-n}\biggr)\biggr]_{-\pi}^{\pi}=0\)

 ※↑ここで \(m-n\) が分母にでてくるので。

 

 \( m=n\) の時

 ①で\(m=n\) を考えて

 

\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\cos 2mx +1\biggr)dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \biggl(\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2mx + \displaystyle\frac{1}{2} \biggr)dx\)

 

\(\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{1}{4m}\sin 2mx\biggr]_{-\pi}^{\pi}=\pi\)

 

本題 

問題の積分は

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(\cos x+\cos 2x+\cdots +\cos nx)(\cos x+\cos 2x+\cdots +\cos nx)dx\)

 

下準備より、\(m=n\)のときは\(\pi\)、\(m\neq n\) のときは\(0\) 。

つまり、積分を展開するとかなりの部分が\(0\)となり、結果的に残るのは以下の項のみになります。

 

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x+\cdots +\cos^2 nx)dx\)

 

よって \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\biggl(\sum_{k=1}^{n} \cos kx \biggr)^2 dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cdots +\cos^2 nx)dx=\pi+\pi+\pi+\cdots +\pi=\)\(n\pi\)

 

答え

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\biggl(\sum_{k=1}^{n} \cos kx \biggr)^2 dx=\)\(n\pi\)

 

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