数学問題bot11

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数学問題bot11

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の11番の問題です。

 

思考

シグマのままでは考えも浮かんでこないので具体的に書き下してみます。

そして、相加相乗の関係式を使います。

 

計算

問題中の式を詳しく書き下します。

 

\(\displaystyle\frac{a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{a_{1}}+\displaystyle\frac{a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{a_{2}}+\displaystyle\frac{a_{1}+a_{2}+a_{4+}\cdots+a_{n}}{a_{3}}\)

\(+\cdots+\displaystyle\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}}{a_{n}}\)

 

最大値は大きい方にはいくらでも大きくなるので存在しません。(\(\infty\))

 

最小値の議論は、相加平均・相乗平均の関係を使います。(今、すべて正なので適用可能)

例えば

 

\(\displaystyle\frac{a_{2}}{a_{1}}+\displaystyle\frac{a_{1}}{a_{2}} \geq 2\sqrt{\displaystyle\frac{a_{2}}{a_{1}}\displaystyle\frac{a_{1}}{a_{2}}}=2\)

 

今、問題の式を見てみると対になる組がすべて存在している。

これらのペアの総数はn個のものから2個を選ぶ組み合わせと考えられるので

\(_{n}C_{2} =\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}\) 通り。

 

一つの組は2以上でそれが\(\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}\) 個あるので最小値は

\(n(n-1)\)

※\(a_{1}\)から\(a_{n}\) まですべて等しい時、等号成立。(最小値の存在を確認)

 

答え

 \(\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}\biggr)-a_{m}}{a_{m}} \geq n(n-1)\)

 

 

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