数学問題bot12

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数学問題bot12

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の12番の問題です。

 

 

思考

因数定理を使ってもうまくいきません。

よって、カルダノの公式の考えで解きます。(\(x^2\)の項がないので少し楽)

 

計算

\(x=t+u\) とおく。

代入して解くと次の条件に帰着する。

 

\(8u^3+8t^3-1=0\)

\(24ut-6=0\)

 

\(u=\displaystyle\frac{1}{4t}\) なので

 

代入して整理すると

\(64t^6-8t^3+1=0\)

 

\(t^3=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt3i}{16}\)

 

tとuは対称なのでこちらが正を取るとしていい。

\(t^3=\displaystyle\frac{1+\sqrt3i}{16}\)

 

同様に、\(u^3=\displaystyle\frac{1-\sqrt3i}{16}\)

 

\(x=t+u\) より答えが実数になるように答えを取るには

 

\(x=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1+\sqrt3i}{16}}+\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1-\sqrt3i}{16}}\)

 

 \(x=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1+\sqrt3i}{16}}\omega+\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1-\sqrt3i}{16}}\omega^2\)

 

\(x=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1+\sqrt3i}{16}}\omega^2+\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1-\sqrt3i}{16}}\omega\)

 

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