数学問題bot14

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数学問題bot14

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の14番の問題です。

 

 

思考

定番問題です。三角関数を利用します。

突然だなと感じるかもしれませんが、\(x^2+4y^2=4\) が楕円だ(数3で習う)というところから発想します。

よくある問題なので、特に何も思わず置き換えている人もいるでしょう。

 

計算

三角関数変換

上で少し話したように三角関数にする。条件を満たすように変換する。

\(x=2\cos\theta 、    y=\sin\theta\)   とおく。(\(0 \leq \theta < 2\pi\) )

 

\(\displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2=1\)の楕円で  \(\displaystyle\frac{x^2}{4}=\cos^2 \theta , y^2=\sin^2 \theta\)   から出てきている。

 

問題の変形

すると、問題の式は以下のように変形できる。

\(x^2+xy+2y^2=\)\(4\cos^2 \theta+2\sin \theta\cos \theta+2\sin^2 \theta\)

 

2倍角を使用して、\(2\theta\) に統一します。(\(\theta\)のままでは扱いにくい)

\(4\cdot \displaystyle\frac{1+\cos 2\theta}{2}+\sin 2\theta+2\cdot \displaystyle\frac{1-\cos 2\theta}{2}\)

 

\(=\sin 2\theta+\cos 2\theta+3=\sqrt2\sin \biggl(2\theta+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)+3\)

 

※最後は合成した。 よって、

\(-1\leq \sin \biggl(2\theta+\displaystyle\frac{\pi}{4}\biggr)\leq 1\)であるので

 

答え

最大値は\(3+\sqrt2\)

最小値は\(3-\sqrt2\)

 

 

 

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