数学問題bot15

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数学問題bot15

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の15番の問題です。

 

 

 

思考

推移していく、及び\(n\) 秒後について聞いているので確率漸化式です。

普通に計算してみようとしても、ここまで複雑では厳しいでしょう。

B、C、Dにいる確率は対称性より等しいこと、A~Dにいる確率を足すと\(1\) となることを利用します。

 

計算

まず初めに

\(P_{1}=0\)  (Aから必ず動くから。)

\(Q_{1}=\displaystyle\frac{1}{3}\)  

 

\(n\)回の試行後にAにいる時、\(n-1\)回の試行後にはB,C,Dのいづれかにいる。

B,C,Dにいる場合からAにくるのは\(\displaystyle\frac{1}{3}\)の確率。

B,C,Dにいる確率はAにいる確率の余事象。

 

よって漸化式が立式できる。 

\(P_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}(1-P_{n-1})\)

 

\(P_{n}-\displaystyle\frac{1}{4}=-\displaystyle\frac{1}{3}\biggl(P_{n-1}-\displaystyle\frac{1}{4}\biggr)\)

 

\(P_{1}=0\) を考えると、

 

\(P_{n}=\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{3}\biggr)^{n-1}\)

 

また、B,C,Dにいる確率は対称性より等しい。(それぞれ\(=Q_{n}\))

点はA,B,C,Dのどれかにいるので

 

\( P_{n}+3Q_{n}=1\)  が成立。

 

\(Q_{n}=\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{3}\biggr)^{n}\)

 

答え

\(P_{n}=\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{3}\biggr)^{n-1}\)

\(Q_{n}=\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{3}\biggr)^{n}\)

 

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